Phần 1: GÓC Ở TÂM

GÓC Ở TRUNG TÂM

1. Cơ sở lí thuyết

Kiến thức cần ghi nhớ.

Góc tại tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn.

Ví dụ: ${\widehat { A O B }}$ là góc tại trung tâm.

Nếu ${0 ^ { 0 } < \alpha < 180 ^ { \circ }}$ thì cung sẽ được gọi là cung nhỏ nếu nằm bên trong góc và cung sẽ được gọi là cung lớn nếu nằm bên ngoài góc.

Nếu ${\alpha = 180 ^ { \circ }}$ thì mỗi cung tương đương với một nửa đường tròn.

Cung nằm trong góc được gọi là cung bị hạn chế.

Số đo huyền diệu.

Số đo cung nhỏ tương đương với số đo góc tại tâm của cung đó.

Số đo cung lớn bằng hiệu giữa số đo cung nhỏ và ${360 ^ { \circ }}$ (cung nhỏ có chung hai đầu mút với cung lớn).

Số đo của một nửa đường tròn là ${180 ^ { \circ }}$.

“Cung không” và “cung cả đường tròn” có số đo tương ứng là ${0 ^ { 0 }}$ và ${360 ^ { \circ }}$.

Đối chiếu hai hoàng đạo.

Trong một hình tròn hoặc hai hình tròn có bán kính bằng nhau :.

Hai cung được coi là bằng nhau nếu chúng có số đo tương đương.

Trong hai cung, cung nào có số đo cao hơn được gọi là cung lớn hơn.

Khi nào thì độ dài đường cung AB bằng độ dài đường cung AC cộng với độ dài đường cung CB?

Nếu điểm C là một điểm nằm trên cung AB thì : độ dài cung AB= độ dài cung AC+ độ dài cung CB.

Định lý 1: Với hai cung nhỏ trong một vòng tròn đều là hợp lệ.

Trong hai đường tròn có đường kính tương đương.

Hai cung có độ căng và chiều dài dây bằng nhau.

Hai sợi dây bằng nhau căng hai vòng cung bằng nhau.

Trong hình bên: $\overset\frown{AB}=\overset\frown{CD}$ và AB = CD.

Định lý 2: Với hai cung nhỏ trong một vòng tròn hoặc trong hai vòng tròn có cùng đường kính :.

Nhà hát lớn hơn thì dây cung cũng lớn hơn.

Dây lớn hơn khi căng sẽ tạo ra cung lớn hơn.

Trong hình bên : $\overset\frown{AB}<\overset\frown{CD}$ Û AB < CD.

Định luật bổ sung.

Trong một đường tròn, hai cung bị hạn chế giữa hai dây song song thì có giá trị tương đương.

Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung, đi qua trung điểm của dây căng cung ấy (đảo lại không đúng).

Đường kính đi qua điểm trung tâm của một cung sẽ tạo thành góc vuông với dây căng của cung đó và ngược lại.

Phương pháp giải là:

Để tính độ của góc tại tâm, độ của cung bị chắn có thể được tính bằng cách sử dụng những kiến thức sau đây:

Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở trung tâm che cung đó.

Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360 độ và số đo của cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn).

Số đo của một nửa đường tròn là ${{180}^{0}}$. Vòng cung của toàn bộ đường tròn có số đo ${{360}^{0}}$.

Sử dụng đường kính của một góc nhọn để tính góc.

Sử dụng mối liên hệ giữa đường kính và dây cung.

1. Đề bài tập

Bài 1: Đường tròn (O) có hai tiếp tuyến tại điểm A và B. Hai tiếp tuyến này cắt nhau tại điểm P. Góc APB có số đo là 55 độ. Hãy tính số đo của cung AB.

Hướng dẫn giải pháp.

Tìm cách giải. Tính góc ở tâm trước, rồi tính số đo cung nhỏ AB. Cuối cùng tính số đo cung lớn.

Trình bày phương pháp giải quyết.

Tứ giác APBO có góc OAP và OBP bằng 90 độ (vì PA, PB là tiếp tuyến). Với góc APB bằng 55 độ, ta có:

$\Widehat{AOB}={{360}^{{}^\circ }}-{{90}^{{}^\circ }}-{{90}^{{}^\circ }}-{{55}^{0}}={{125}^{{}^\circ }}$ (tổng các góc trong tứ giác AOBP) cho biết số đo cung nhỏ AB là 1250.

Vậy số đo cung lớn AB là: ${{360}^{0}}{{125}^{0}}={{235}^{0}}$ .

Bài 2: Cho hai đường tiếp tuyến tại điểm A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại điểm M, biết góc AMB là 40 độ.

A) Tính góc $\widehat{AMO}$ và góc $\widehat{AOM}$.

B) Tính độ dài cung AB nhỏ và độ dài cung AB lớn.

Hướng dẫn giải pháp.

Cách giải này bao gồm việc sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau để tính góc ở tâm và cuối cùng là tính số đo cung lớn.

Trình bày phương pháp giải quyết.

A) Vì MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M, nên MO là tia phân giác của góc AMB, tức là góc AMO bằng một nửa góc AMB, có giá trị là 20 độ. Tam giác AMO là tam giác vuông tại A, và ta có giá trị của góc AOM là 70 độ.

OM là đường phân giác của góc AOB nên góc AOB bằng gấp đôi góc AOM là 140 độ.

B) Diện tích $\overset\frown{AmB}$= diện tích $\widehat{AOB}={{140}^{0}}$.

Sđ $\overset\frown{AnB}={{360}^{0}}-{{140}^{0}}={{220}^{0}}.$.

Bài 3: Trên một đường tròn (O) có cung AB đo 140o. Gọi A’ và B’ lần lượt là điểm đối xứng của A và B qua O. Lấy cung AD chứa B’ làm điểm chính giữa và lấy cung CB chứa A’ làm điểm chính giữa. Hãy tính số đo cung nhỏ CD.

Hướng dẫn giải pháp.

Cách giải của chúng ta là như sau: Ta biết rằng OA và OA’ là hai tia đối nhau nên góc giữa chúng là 180 độ. Vì AD là đường kính của đường tròn nên góc giữa AB’ và BD cũng bằng góc giữa OA và OA’. Tương tự, góc giữa BA’ và A’B cũng là 180 độ. Từ đó, chúng ta có thể tính được số đo của cung DC.

Trình bày phương pháp giải quyết.

Ta có $\widehat{AOB’}=\widehat{BOA’}$ (hai góc đối đỉnh) $\Rightarrow cạnh AB’ = cạnh A’B$.

B’ và C’ lần lượt là điểm chính giữa cung AD và cung BC nên ta có $sd\text{ }\overset\frown{AB’}=sd\text{ }\overset\frown{B’D};sd\text{ }\overset\frown{A’B}=sd\text{ }\overset\frown{A’C}$.

Sđ$\overset\frown{\text{AB}}={{140}^{{}^\circ }}$với A’ là điểm đối xứng với A qua O, do đó.

Sđ $\widehat{AOA’}={{180}^{0}}$.

Lại có$\text{ }đoạn cung $\overset\frown{AB}+\text{ }đoạn cung $\overset\frown{\text{BA }\!\!’\!\!\Text{ }}\text{=18}{{\text{0}}^{0}}$$\Rightarrow $đoạn cung $\overset\frown{BA’}={{40}^{{}^\circ }}$= đoạn cung $\overset\frown{AB’}={{40}^{{}^\circ }}$.

Þ sđ$\overset\frown{AC}={{40}^{{}^\circ }}$Þ sđ$\overset\frown{\text{CB}}={{80}^{{}^\circ }}$.

Sđ${\widehat { \mathrm { AB } ^ { \prime } } = 40 ^ { \circ }}$Þ sđ$\widehat{\text{B }\!\!’\!\!\Text{ D}}={{40}^{{}^\circ }}$Þ sđ$\overset\frown{CD}$=1800 – sđ$\overset\frown{BC}$ – sđ$\overset\frown{B’D}={{180}^{{}^\circ }}-{{40}^{{}^\circ }}-{{80}^{{}^\circ }}={{60}^{{}^\circ }}$

Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài đường tròn (O) sao cho $OM=2R.$ Kẻ tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm).

A) Tính $\widehat{AOM}$;.

B) Tính $\widehat{AOB}$ và góc AB nhỏ;.

C) Biết OM cắt (O) tại C. Chứng minh C là điểm trung tâm của cung nhỏ AB.

Hướng dẫn giải pháp.

Cách giải là áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông để tính góc ở tâm khi biết độ dài hai cạnh (theo bán kính).

Trình bày phương pháp giải quyết.

A) Vì MA và MB là các đường tiếp tuyến của đường tròn (O), nên MA vuông góc với AO và MB vuông góc với BO.

Xét tam giác vuông MAO có $\sin \widehat{\text{A}MO}=\frac{AO}{MO}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{AMO}={{30}^{0}}$ $\Rightarrow \widehat{AOM}={{60}^{0}};$.

B) Tương tự bài 1 tính được góc AOB là 120 độ, độ dài đường cong AB là 120 độ.

C)$\widehat{AOC}=\widehat{BOC}$$\Rightarrow $$\overset\frown{AC}=\overset\frown{BC}.$.